Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1229 1230 1231 1232 1233 1234 1235 >> [Всего задач: 8157]

Задача 78506

Тема:

[

Рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Последовательность чисел a₁, a₂,..., a_n... образуется следующим образом:

a₁ = a₂ = 1; a_n = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (n $\displaystyle \ge$ 3).

Доказать, что все числа в последовательности — целые.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78527

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
Темы:	[	Куб	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

Прислать комментарий Решение

Задача 78531

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 78542

Темы:	[	Центр масс	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78546

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Площадь треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1229 1230 1231 1232 1233 1234 1235 >> [Всего задач: 8157]