соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1444 1445 1446 1447 1448 1449 1450 >> [Всего задач: 8157]
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.
Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается его сторон $BC, CA$ и $AB$ в точках $D, E$ и $F$ соответственно. Точка $M$ на луче $EF$ такова, что $EM = AB$. Точка $N$ на луче $FE$ такова, что $FN = AC$. Окружности $BFM$ и $CEN$ повторно пересекают $\omega$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Докажите, что прямые $BS, CT$ и $AD$ пересекаются в одной точке.
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$.
Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.
Страница: << 1444 1445 1446 1447 1448 1449 1450 >> [Всего задач: 8157]
Задача 67309 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67314 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67344 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67350 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67351 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1444 1445 1446 1447 1448 1449 1450 >> [Всего задач: 8157]
