Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1445 1446 1447 1448 1449 1450 1451 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67357

Темы:	[	Прямоугольный тетраэдр	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Tran Quang Hung, Dergiados N.

В пирамиде $SABC$ все углы при вершине $S$ прямые. Точки $A'$, $B'$, $C'$ на ребрах $SA$, $SB$, $SC$ соответственно таковы, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ параллельны?

Прислать комментарий Решение

Задача 67368

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Шатунов Л., Шеломовский В.

Пусть $(P,P')$ и $(Q,Q')$ – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника $ABC$, $R$ – точка пересечения прямых $PQ$ и $P'Q'$. Докажите, что педальные окружности точек $P$, $Q$ и $R$ соосны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67369

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Пучков П.

Для каких $n>0$ можно отметить на плоскости несколько различных точек и несколько различных окружностей так, чтобы были выполнены следующие условия:

- через каждую отмеченную точку проходит ровно $n$ отмеченных окружностей;

- на каждой отмеченной окружности лежит ровно $n$ отмеченных точек;

- у каждой отмеченной окружности отмечен еe центр?

Прислать комментарий Решение

Задача 67434

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан многочлен степени $n$ > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.

Прислать комментарий Решение

Задача 67439

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Счетные и несчетные подмножества	]
	[	Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1445 1446 1447 1448 1449 1450 1451 >> [Всего задач: 8157]