ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109825  (#05.5.10.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109826  (#05.5.10.4)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Периметр треугольника ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109827  (#05.5.10.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108225  (#05.5.10.6)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109828  (#05.5.10.7)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10

Натуральные числа x и y таковы, что  2x² – 1 = y15.  Докажите, что если  x > 1,  то x делится на 5.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .