ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 109819  (#05.5.11.5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f2(x+y) f2(x)+2f(xy)+f2(y)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109820  (#05.5.11.6)

Темы:   [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P1 , P2 , P12 , ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P1 и P3 , P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P2 и P4 , и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P1 , P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P2 ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 108227  (#05.5.11.7)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Подобные фигуры ]
[ Удвоение медианы ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда  OA·OC = OB·OD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109822  (#05.5.11.8)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .