ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 109860  (#95.4.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109861  (#95.4.11.6)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мусин О.

Числовая последовательность a0 , a1 , a2 , такова, что при всех неотрицательных m и n ( m n ) выполняется соотношение

am+n+am-n=(a2m+a2n).

Найдите a1995 , если a1=1 .
Прислать комментарий     Решение

Задача 108193  (#95.4.11.7)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109870  (#95.4.11.8)

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Перестройки ]
[ Раскраски ]
[ Инварианты ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Дужин С.В.

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .