ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 116977  (#1)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.
Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116979  (#2)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством:  7p + 1  делится на q, а  7q + 1  делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116249  (#3)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан такой выпуклый четырехугольник ABCD, что  AB = BC  и  AD = DC.  Точки K, L и M – середины отрезков AB, CD и AC соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AD, в точке H. Докажите, что прямые KL и HM перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116250  (#4)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116251  (#5)

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .