Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий

Решение

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]