Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABD и CBD равны.

   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

   Решение

Выразите площадь треугольника ABC через длину стороны BC и величины углов B и C.

   Решение

Прямая, проходящая через общую точку A двух окружностей, пересекает вторично эти окружности в точках B и C соответственно. Расстояние между проекциями центров окружностей на эту прямую равно 12. Найдите BC, если известно, что точка A лежит на отрезке BC.

   Решение

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

   Решение

Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

   Решение

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁, и B₁ соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁B₁C, A₁BC₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1?

Прислать комментарий

Решение

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.
Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 2016?

Прислать комментарий

Решение

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]