ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 115357  (#10.2.3)

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 65614  (#10.3.1)

Темы:   [ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существует ли такая функция  f(x), определённая для всех действительных чисел, что  f(sin x) + f(cos x) = sin x?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65615  (#10.3.2)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Параллелограмм и квадрат расположены так, что вершины квадрата лежат на сторонах параллелограмма (по одной вершине на каждой стороне). Из каждой вершины параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная ближайшей стороне квадрата. Докажите, что точки попарного пересечения этих прямых также являются вершинами квадрата.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65616  (#10.3.3)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Изначально на экране компьютера – какое-то простое число. Каждую секунду число на экране заменяется на число, полученное из предыдущего прибавлением его последней цифры, увеличенной на 1. Через какое наибольшее время на экране возникнет составное число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65617  (#10.4.1)

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .