ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 65671  (#1)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65672  (#2)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC на продолжении медианы CM за точку C отметили точку K так, что  AM = CK.  Известно, что угол BMC равен 60°.
Докажите, что  AC = BK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65673  (#3)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Васе задали на дом уравнение  x² + p1x + q1 = 0,  где p1 и q1 – целые числа. Он нашел его корни p2 и q2 и написал новое уравнение  x² + p2x + q2 = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65674  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65675  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Правило произведения ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .