Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]

Задача 67417

Тема:

[

Взвешивания

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Грибалко А.В.

На столе лежат $2n$ неразличимых на вид монет. Известно, что $n$ из них весят по 9 г, а остальные $n$ – по 10 г. Требуется разбить их на $n$ пар так, чтобы общий вес каждой пары равнялся 19 г. Докажите, что это можно сделать менее чем за $n$ взвешиваний на чашечных весах без гирь (показывающих, равны ли чаши, а если нет, то какая тяжелее).

Прислать комментарий Решение

Задача 67435

Тема:

[

Разрезания на части, обладающие специальными свойствами

]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Маркелов С.В., Маркелов И.

Назовём полоской клетчатый многоугольник, который можно пройти целиком, начав из какой-то его клетки и далее двигаясь только в двух направлениях — вверх или вправо. Несколько таких одинаковых полосок можно вставить друг в друга, сдвигая на вектор (–1, 1). Докажите, что для любой полоски, состоящей из чётного числа клеток, найдётся такое нечётное $k$, что если объединить $k$ таких же полосок, вставив их последовательно друг в друга, то полученный многоугольник можно будет разделить по линиям сетки на две равные части. (На рисунке приведён пример.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 67440

Темы:	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Б.М.

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67441

Темы:	[	Оценка + пример	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Казицына Т.В.

У Вани есть клетчатая бумага двух видов: белая и чёрная. Он вырезает кусок из любой бумаги и наклеивает на серую клетчатую доску $45\times 45$, делая так много раз. Какое минимальное число кусков нужно наклеить, чтобы «раскрасить» клетки доски в шахматном порядке? (Каждый кусок – набор клеток, в котором от любой клетки до любой другой можно пройти, переходя из клетки в соседнюю через их общую сторону. Можно наклеивать куски один поверх другого. Все клетки имеют размер $1\times 1$.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]