Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]

Задача 67431

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Алексеев М.

В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?

Прислать комментарий Решение

Задача 67432

Темы:	[	Оценка + пример	]
Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Чеботарев А.С.

В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$ хорошей, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 1 больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 3 больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?

Прислать комментарий Решение

Задача 67433

Темы:	[	Окружности (прочее)	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кухарчук И., Соколов А.

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67436

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бутырин Б.

Дано натуральное число $n$. Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?

Прислать комментарий Решение

Задача 67437

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]