На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь S.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Докажите, что если  α < 0 < β,  то   S_α(x) ≤ S₀(x) ≤ S_β(x),  причём  
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности  a₁, a₂, ..., a₉  и  b₁, b₂, ..., b₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...,  такая, что  P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности  a₁, a₂, ...  различны.

Прислать комментарий

Решение

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...  такова, что  P(a₁)= 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]