Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]

Задача 58309

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть E – точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, B_n+1 – точка пересечения прямых A_nC и BD (A₀ = A), A_n+1 – точка пересечения прямых EB_n+1 и AB. Докажите, что A_nB = ^AB/_n+1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78144

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Отрезок длиной 3ⁿ разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого k(1 $\le$ k $\le$ 3ⁿ) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.

Прислать комментарий Решение

Задача 78140

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого ${\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.

Прислать комментарий Решение

Задача 110769

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Куб	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Казицына Т.В., Заславский А.А.

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Прислать комментарий Решение

Задача 65580

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Раскраски	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Конягин С.В.

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
a) K = 7; б) K = 10?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]