Каталог по темам

Выбрано 12 задач

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Решение

В n стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких n можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

Решение

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Решение

Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.

Решение

Автор: Уткин А.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$ , $AD$ – биссектриса. Построен равносторонний треугольник $PDQ$ с высотой $DA$ . Прямые $PB$ и $QC$ пересекаются в точке $K$ . Докажите, что $AK$ – симедиана треугольника $ABC$ .

Решение

Автор: Безбородников М.Ф.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Решение

Пусть x₁, x₂,..., x_n – корни уравнения a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0. Какие корни будут у уравнений
а) a₀xⁿ + ... + a_n–1x + a_n = 0;
б) a_nx²ⁿ + ... + a₁x² + a₀ = 0?

Решение

Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x – c равен P(c).

Решение

Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

Решение

Авторы: Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Решение

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x) и deg R(x) < degQ(x); при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

Решение

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

Решение

Задача 30696

Задача 30698

Задача 35628

Задача 60421

Задача 35748