Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36^o при вершине несоизмеримы.
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности .

Прислать комментарий

Решение

В бесконечной последовательности  (x_n)  первый член x₁ – рациональное число, большее 1, и  x_n+1 = x_n + ¹/_[xn]  при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что уравнения
  а)  8x⁴ + 4y⁴ + 2z⁴ = t⁴;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3ⁿ = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Прислать комментарий

Решение

Найти такие целые числа x, y, z и t, что  x² + y² + z² + t² = 2xyzt.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]