Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно четыре отмеченных точки, а через каждую отмеченную точку проходят ровно четыре окружности?

   Решение

---

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

   Решение

---

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98002

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Индукция (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98036

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98550

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116427

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
  А если богатырей
  б) десять?
  в) тридцать три?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116996

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 332]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями