Каталог по темам

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 234]

Задача 86107

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61541

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Задачи-шутки	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

$\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}$

$\begin{picture} (150,50)\multiput(0,0)(0,10){6}{\line(1,0){130}} \multiput(0,0... ...0,1){30}}\put(50,20){\line(0,1){30}} \qbezier(0,0)(65,25)(129,50) \end{picture}$

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Прислать комментарий

Решение

Задача 30609

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
а) a₁ = a₂ = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
б) Докажите, что a_n – 22 – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61504

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите L_n через φ и (см. задачу 61502).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65308

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 234]