Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 201]

Задача 110081

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Уравнения с модулями	]
	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35728

Темы:	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Уравнение плоскости	]
	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61106

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
	[	Тригонометрические уравнения	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность многочленов P₀(x) = 1, P₁(x) = x, P₂(x) = x² – 1, ... задается условием P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение P₁₀₀(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66474

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Григорьев М. А.

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73712

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
	[	Замена переменных (прочее)	]
	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Темиров Т.

Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xⁿ – aⁿ и 2aⁿ – xⁿ равна числу a.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 201]