Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 113]

Задача 61339

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61522

Темы:	[	Многочлены Гаусса	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 2+
Классы: 10,11

Докажите следующие свойства функций g_k,l(x) (определения функций g_k,l(x) смотри здесь):
а) g_k,l(x) = , где h_m(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – x^m) (h₀(x) = 1);
б) g_k,l(x) = g_l,k(x);
в) g_k,l(x) = g_k–1,l(x) + x^kg_k,l–1(x) = g_k,l–1(x) + x^lg_k–1,l(x);
г) g_k,l+1(x) = g_0,l(x) + xg_1,l(x) + ... + x^kg_k,l(x);
д) g_k,l(x) – многочлен степени kl.
Многочлены g_k,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34854

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60477

[Числа Евклида]

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e₁ = 2, e_n = e₁e₂...e_n–1 + 1 (n ≥ 2). Все ли числа e_n являются простыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61306

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 113]