Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73715

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Логарифмические неравенства ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 8+ Классы: 10,11

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109484

Темы:   [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Показательные уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^x – 4^–x = 2 cos ax,  4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4  равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73775

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Показательные неравенства ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105071

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями