Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

   Решение

Разрежьте изображённую на левом рисунке фигуру на две одинаковые части.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

Известно, что  ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e,  где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.

Прислать комментарий

Решение

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?

Прислать комментарий

Решение

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Прислать комментарий

Решение

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f₁ и g₁, что  f + g = f₁ + g₁  или  fg = f₁g₁.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

При делении многочлена  x¹⁹⁵¹ – 1  на  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x¹⁴.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]