Подтемы:
-
Системы точек
(75 задач)
Системы отрезков, прямых и окружностей
(40 задач)
Центр масс
(79 задач)
Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
(66 задач)
Системы точек и отрезков (прочее)
(41 задача)
Фильтр
Выбрано 2 задачи Убрать все задачи
На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?
РешениеПусть натуральные числа m1, m2, ..., mn попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x1, x2, ..., xn пробегают полные системы вычетов по модулям m1, m2, ..., mn соответственно, то число x = x1m2...mn + m1x2m3...mn + ... + m1m2...mn–1xn пробегает полную систему вычетов по модулю m1m2...mn. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).
Решение
Задачи
Задача 116146 |
|
|
Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
|
|
Решение |
Задача 116391 |
|
|
Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек (A, B) назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?
|
|
|
Решение |
Задача 116576 |
|
|
На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?
|
|
|
Решение |
Задача 35048 |
|
|
На плоскости даны пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой.
Докажите, что некоторые четыре из этих точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 35142 |
|
|
На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 301]
