Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 488]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших (2n – 1)². Докажите, что среди них обязательно есть простое число.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.
Можно ли все натуральные числа разбить на пары так, чтобы сумма
чисел в каждой паре была квадратом целого числа?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите неравенство (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²) при a, b, c, d ∈ [0, 1].
Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 488]
Фильтр
