Каталог по темам

Задачи

Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1376]

Задача 57791

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что величина S, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) S_A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ , S_B = ${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$ , S_C = ${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ .
б) S_A + S_B = c², S_B + S_C = a², S_C + S_A = b².
в) S_A + S_B + S_C = S, где $\varphi$ — угол Брокара.
г) S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A = 4S².
д) S_AS_BS_C = 4S²S - (abc)².

Прислать комментарий Решение

Задача 57792

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ). Пусть d_a, d_b, d_c — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что d_a $\alpha$ + d_b $\beta$ + d_c $\gamma$ = 0.

Прислать комментарий Решение

Задача 57799

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58211

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58261

Тема:

[

Разные задачи на разрезания

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1376]