Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2ⁿ и 5ⁿ.

   Решение

В треугольнике ABC даны углы B и C. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, а описанную окружность треугольника ABC – в точке E.
Найдите отношение AE : DE.

   Решение

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?

   Решение

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

   Решение

Середина одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равновеликие части.

   Решение

Известно, что  cos α° = ¹/₃.  Является ли α рациональным числом?

   Решение

В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром.
Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолетов.

   Решение

а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).

б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 293]      

В трапеции ABCD диагонали AC и DB взаимно перпендикулярны,  ∠ABD = ∠ACD.  На продолжениях боковых сторон AB и DC за большее основание AD отложены отрезки AM и DN так, что получается новая трапеция MADN, подобная трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции MBCN, если площадь трапеции ABCD равна S, а сумма углов при большем основании равна 150°.

Прислать комментарий

Решение

Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна a, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен b. Найдите диаметр окружности.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренной трапеции ABCD  AB = CD = 3,  основание  AD = 7,  ∠BAD = 60°.  На диагонали BD расположена точка M так, что  BM : MD = 3 : 5.
Какую из сторон трапеции: BC или CD пересекает продолжение отрезка AM?

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона равна 10, большее основание 24, а высота 8.
Определите, что пересекает биссектриса острого угла трапеции: меньшее основание или его продолжение?

Прислать комментарий

Решение

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 293]