Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?

   Решение

Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром a .

   Решение

Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанного шара.

   Решение

Игровое поле представляет собой полоску 1× N . В начале игры на нескольких крайних левых полях стоит по одной белой шашке, на стольких же крайних правых полях — по одной чёрной шашке. Белые и Чёрные ходят по очереди, начинают Белые. Ход заключается в передвижении одной из своих шашек в направлении противника (Белые ходят направо, Чёрные — налево). Можно делать простой ход или бить шашки соперника. При простом ходе разрешается перемещать шашку на любое число клеток, но нельзя перепрыгивать ни через свои шашки, ни через чужие. Бьют шашки соперника по тем же правилам, что и в обычных шашках:
Шашка бьёт шашку соперника, стоящую на соседнем поле, если следующее за ним поле свободно. При этом своя шашка перемещается на это свободное поле, а побитая шашка соперника снимается с доски.
Бить обязательно: если есть возможность бить, делать вместо этого простой ход какой-либо шашкой нельзя.
Если шашка, побившая шашку соперника, может сразу побить следующую его шашку, она должна продолжать бить тем же ходом.
Кто — Белые или Чёрные — победят в этой игре вне зависимости от игры партнёра? Рассмотрите случаи:
а) У игроков по одной шашке, поле длиной N>2 клеток;
б) У игроков по две шашки, поле длиной N>4 клеток;
в) У игроков по три шашки, поле длиной N>6 клеток;
г) Дополнительное задание. Можно подумать, что численное преимущество решает исход игры. Придумайте и нарисуйте, однако, позицию, где у Белых меньше шашек, чем у Чёрных, и тем не менее, Белые начинают (с простого хода) и выигрывают.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

На окружности с центром O лежит точка X . На диаметре, выходящем из точки X , возьмём точку Y так, чтобы точка O лежала между X и Y . Требуется провести через точку Y хорду AB так, чтобы угол AXB был минимален.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если a + b < 3c, то  tg(/2)tg(/2) < 1/2.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  ,, — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если  < < , то  sin 2 > sin 2 > sin 2.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  cos 2 + cos 2 - cos 2 3/2.

Прислать комментарий

Решение

На медиане BM треугольника ABC взята точка X. Докажите, что если AB < BC, то  XAB > XCB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]