Версия для печати
Убрать все задачи

---

На экваторе растет несколько 100-метровых сосен. Однажды все сосны завалились на восток и покрыли весь экватор. Докажите, что если бы они завалились на запад, то они также покрыли бы весь экватор.

   Решение

---

Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) пересекаются в точке $O$. На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$. К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$. Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60824

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пользуясь результатом задачи 60823, укажите в явном виде число x, которое удовлетворяет системе из задачи 60825.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60838  [Восточный Календарь]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
  годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
  годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
  годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
  годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
  годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое животное возникает пять раз. С помощью китайской теоремы об остатках объясните, почему оно все пять раз бывает разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60729

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите что если  (m, n) = 1,  то сравнение   a ≡ b (mod mn)  равносильно одновременному выполнению двух сравнений  a ≡ b (mod m)  и  a ≡ b (mod n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60820

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При каких целых n число  n² + 3n + 1  делится на 55?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60822

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Неопределено ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что сравнение  a ≡ b (mod m₁m₂...m_n)  равносильно системе
    a ≡ b (mod m₁),
    a ≡ b (mod m₂),
        ...
    a ≡ b (mod m_n).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями