ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1006]      



Задача 60452

 [Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]
Тема:   [ Числа Каталана ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   Cn = C0Cn–1 + C1Cn–2 + ... + Cn–1C0.
Определение чисел Каталана Cn смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60671

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p – простое число, то   (a + b)pap – bp   делится на  p при любых целых a и b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61420

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что     тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида

(k,  j, i)   ↔   (k – 1,  j + 1, i),     (k,  j, i)   ↔   (k – 1, j, i + 1),     (k, j, i)   ↔ (k,  j – 1, i + 1).

(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 61507

 [Производящие функции многочленов Чебышева]
Темы:   [ Производящие функции ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61525

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
  а)  Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
  б)  Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(nk);
  в)  Pk,l(n) = Pl,k(n);
  г)  Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 1006]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .