Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

Решение

Определение. Пусть α = (k, j, i) – набор целых неотрицательных чисел, k ≥ j ≥ i. Через T_α(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида x^ay^bz^c по всем шести перестановкам (a, b, c) набора (k, j, i).
Аналогично определяются многочлены T_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
Запишите через многочлены вида T_α неравенства
а) x⁴y + y⁴x ≥ x³y² + x²y³;
б) x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.

Решение

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120^o. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение

В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45^o . Площадь сечения равна S . Найдите объём призмы.

Решение

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём ${\frac{CD}{BC}}$ = $\alpha$ ( $\alpha$ < ${\frac{1}{2}}$ ). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

Решение

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Решение

В четырёхугольнике ABCD ∠DAB = ∠DBC = 90°. Кроме того, DB = a, DC = b.
Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, A, B, а другая – через точки B, C, D.

Решение

Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство [^α/_d] = [^[α]/_d].

Решение

Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого P(6) = 5 и P(14) = 9.

Решение

Основание пирамиды ABCD – треугольник ABC со сторонами AC = 10 , BC = 24 , AB = 26 . Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45^o . Найдите а) радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD ; б) расстояние между прямыми DM и AC и прямыми DM и BC , где DM – высота пирамиды ABCD .

Решение

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1 . Точка M – середина ребра AB , K – середина ребра CD . Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 , C1 , если ребро куба равно .

Решение

Задача 64670

Задача 64696

Задача 65291

Задача 65520

Задача 65682