Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67023

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109854

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111865

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111875

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109790

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Последовательность {a_n} строится следующим образом:  a₁ = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_an, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями