Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 328]

Задача 61475

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $\beta$ , что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 67006

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?

Прислать комментарий Решение

Задача 67317

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Смирнова Л.

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 78286

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Системы счисления (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2},....

Прислать комментарий Решение

Задача 78674

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 328]