Каталог по темам

Задачи

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 488]

Задача 105167

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78628

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66321

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10

Авторы: Saghafian M., Богданов И.И.

На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки conv X и conv Y имеют поровну вершин.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98375

Темы:	[	Криптография	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Пионтковский Д., Шалунов С.

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 107764

Темы:	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Перестройки	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 488]