Версия для печати
Убрать все задачи

---

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98221

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Уравнения с модулями ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

{a_n} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98234

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Числа Фибоначчи ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Можно ли из последовательности  1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
  а) сто чисел,
  б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (a_k = a_k–2 – a_k–1)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107761

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Обратный ход ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109727

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доску последовательно выписываются числа  a₁ = 1,  a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2,  если число  a_n – 2  – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае  a_n+1 = a_n + 3.  Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116876

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство  f(x + 1) = f(x) + 2x + 3.  Известно, что  f(0) = 1.  Найдите f(2012).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями