Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечётна.

   Решение

---

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

---

На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что  AD ⊥ BC  и  AD = DE.  На стороне AC отмечена такая точка F, что  EF ⊥ BC.  Найдите угол ABF.

   Решение

---

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если  CBM = CDM, то  ACD = BCM.

   Решение

---

Основанием пирамиды является треугольник PQR , в котором PR = 2 , Q = , R = . Вершина S пирамиды равноудалена от точек P и Q . Сфера касается рёбер PS , QS , продолжения ребра RS за точку S и плоскости PQR . Точка касания с плоскостью основания пирамиды и ортогональная проекция вершины S на эту плоскость лежат на окружности, описанной вокруг треугольника PQR . Найдите рёбра PS , QS , RS .

   Решение

---

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109484

Темы:   [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Показательные уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^x – 4^–x = 2 cos ax,  4^x + 4^–x = 2 cos ax + 4  равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73775

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Показательные неравенства ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105071

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями