На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

   Решение

Замок имеет вид прямоугольника размером 7×9 клеток. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

   Решение

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

   Решение

Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?

Прислать комментарий

Решение

Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S₁ , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S₂ , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]