Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен  f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x₁ + x₂ = x₃ + x₄,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

   Решение

---

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

   Решение

---

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?

   Решение

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66201

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Параллельный перенос ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109597

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109600

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73825

Темы:   [ Ломаные ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9

Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109771

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Имеются одна красная и k  (k > 1)  синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями