Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 199]

Задача 109957

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64718

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65835

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа n + 1 и n – 1. Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 30771

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

Прислать комментарий Решение

Задача 109614

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 199]