Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 258]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что если
а) a, b и c – положительные числа, то 
б) a, b, c и d – положительные числа, 
в) a1, ..., an – положительные числа (n > 1), то 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Доказать, что для любых чисел a1, ..., a1987 и положительных чисел b1,..., b1987 справедливо неравенство
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство
x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
Страница:
<< 12 13 14 15
16 17 18 >> [Всего задач: 258]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Классические неравенства
Решение 
