Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y⁴.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

   Решение

---

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

   Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116582

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число  am² + bn²  является точным квадратом. Докажите, что  ab = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65714

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что  x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ = 2⁹⁹(x – y)  и  x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109735

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110772

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Определите наименьшее действительное число M, при котором неравенство   |ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²)| ≤ M(a² + b² + c²)²   выполняется для любых действительных чисел a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111342

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями