Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

---

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65255

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109792

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109811

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116543

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116758

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Положительные действительные числа    a₁, ..., a_n  и k таковы, что  a₁ + ... + a_n = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a₁, ..., a_n  отличаются больше чем на 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями