Каталог по темам

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 [Всего задач: 133]

Задача 115372

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шарич В.

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел: S₁ = 2, S₂ = 2 + 3 = 5, S₃ = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109797

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116252

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 [Всего задач: 133]