Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77913

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Числа Каталана ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

На окружности расположены 20 точек. Эти 20 точек попарно соединяются 10 хордами, не имеющими общих концов и непересекающихся.
Сколькими способами это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73735

Темы:   [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Задачи с ограничениями ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109799

Темы:   [ Вспомогательные проекции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107738

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Отмечены четыре вершины квадрата. Отметьте ещё четыре точки так, чтобы на всех серединных перпендикулярах к отрезкам с концами в отмеченных точках лежало по две отмеченные точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111844

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями