Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите равенство   1 – ¹/₂ + ¹/₃ – ¹/₄ + ... + ¹/₁₉₉ – ¹/₂₀₀ = ¹/₁₀₁ + ¹/₁₀₂ + ... + ¹/₂₀₀.

   Решение

---

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

   Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109736

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109752

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73693

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Обратный ход ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.

Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109744

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109796

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Тождественные преобразования ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x, y) выполняется равенство  P(x) – P(y) = R(x, y)(Q(x) – Q(y)).
Докажите, что существует такой многочлен S(x), что  P(x) = S(Q(x)).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями