Версия для печати
Убрать все задачи

---

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

   Решение

---

Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .

   Решение

---

Десять человек сидят за круглым столом. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них так, чтобы каждый получил половину от той суммы, которую два его соседа получили вместе. Однозначно ли это правило задает распределение денег?

   Решение

---

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что  a = b.

   Решение

---

Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.

   Решение

---

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109509

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109819

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110035

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Существует ли функция f(x) , определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству

|f(x+y)+ sin x+ sin y|<2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 104104

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найдите все такие функции  f(x), что  f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98169

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Функции нескольких переменных ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
  1)  x*x = 0,
  2)  x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями