Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

Вниз   Решение


Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.

ВверхВниз   Решение


Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось:  КРОСС + 2011 = СТАРТ.  Докажите, что Паша ошибся.

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

ВверхВниз   Решение


На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

ВверхВниз   Решение


Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l, $ \angle$BCK = $ \alpha$, $ \angle$CBL = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 258]      



Задача 109857

Темы:   [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110008

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Системы точек ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111686

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116036

Темы:   [ Шахматная раскраска ]
[ Четность и нечетность ]
[ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116727

Темы:   [ Куб ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Неравенство Коши ]
[ Симметриия и неравенства и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 258]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .