ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Действительные числа >> Рациональные и иррациональные числа
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?

Вниз   Решение

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 114?

ВверхВниз   Решение

Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.

ВверхВниз   Решение

Упростить выражение   .

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве,

            к            
          в   в          
        а   а   а        
      д   д   д   д      
    р   р   р   р   р    
  а   а   а   а   а   а  
т   т   т   т   т   т   т
можно прочитать слово "квадрат"?

ВверхВниз   Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

ВверхВниз   Решение

Вычислите:
а) $ \sqrt[3]{20+\sqrt{392}}$ + $ \sqrt[3]{20-\sqrt{392}}$;
б) $ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$ - $ \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$;
в) $ \sqrt{x+6\sqrt{x-9}}$ + $ \sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$    (9 $ \leqslant$ x $ \leqslant$ 18).

ВверхВниз   Решение

Докажите следующие равенства:
  а) = + ;
  б) = 2 cos.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство

$\displaystyle \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}$ + $\displaystyle \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$ = 3.


ВверхВниз   Решение

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ . $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$...


ВверхВниз   Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

ВверхВниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству  a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

  с решениями  

Задача 109196

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109787

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110047

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству  a²b²(a²b² + 4) = 2(a6 + b6).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110085

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число  xp + yq   рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60851

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log23 .

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .