Версия для печати
Убрать все задачи
В прямоугольной таблице m строк и n столбцов (m < n). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
Решение
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.
б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).
Решение
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника
F
эквивалентны: 1)
F имеет центр симметрии;
2)
F можно разрезать на параллелограммы.
Решение
Положительные числа a, b, c, d таковы, что a ≤ b ≤ c ≤ d и a + b + c + d ≥ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.
Решение
Окружность
σ с центром в точке
O на стороне
AC
треугольника
ABC касается сторон
AB и
BC в точках
D и
E соответственно. Известно, что
AD= 2
CE , а угол
DOE равен
arcctg 
. Найдите углы треугольника
ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного
окружностью
σ .
Решение
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной
основания
a и углом
β боковой грани с плоскостью основания.
Решение
Фильтр
