Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямоугольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на стороне AC, вершины R и S — на сторонах AB и BC соответственно.

   Решение

---

Пусть P(x) – многочлен степени  n > 1  с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...))  (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых  Q_k(t) = t.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109641

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110774

Темы:   [ Итерации ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть P(x) – многочлен степени  n > 1  с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...))  (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых  Q_k(t) = t.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73804  [Числа Стирлинга]

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60623

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  bx² – abx – a = 0,  где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61450

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Для многочлена  f(x) = x³ – x  найдите Δ²f(x).
Объясните, не применяя соображения делимости, почему  f(x) делится на 6 при всех целых x.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями